İpucu 1: Üçgen medyan formülü nasıl elde edilir?

bilim

İpucu 1: Üçgen medyan formülü nasıl elde edilir?

Üçgendeki medyan, köşenin tepesinden karşı tarafın ortasına doğru çekilen bir segmenttir. Uzunluğu bulmak için medyan, tüm taraflarla ifade etmek için formülün kullanılması gerekir üçgen, bunun anlamı zor değildir.

talimat

Tahminde bulunmak formül için medyan herhangi üçgende, bu paralelkenar için kosinüs teoremi araştırılmasına uygulanması gereklidir, dolgu-in ile elde edilir üçgen. Formül bu temelde ispatlanabilir, yanların tüm uzunlukları biliniyorsa ya da problemin diğer başlangıç verilerinden kolayca bulunabilen problemleri çözmek için çok uygundur.

Aslında, kosinüs teoremi Pisagor teoreminin genelleştirilmesidir. Bu gibi geliyor: iki boyutlu üçgen a, b ve c kenarlarının uzunlukları ve karşı taraftaki a açısı ile aşağıdaki eşitlik geçerlidir: a² = b² + c² - 2 • b • c • cos α.

kosinüs teoremi bir sonucunu yaygınlaştırılması bir dörtgen en önemli özelliklerinden birini tanımlar: d1² + d2² = a² + b² + c² + d²: köşegenlerinin karelerinin toplamı yanlarından karelerinin toplamına eşittir.

Sorunu çözün: ABC'nin rastgele üçgeninde tüm tarafların bilinmesine izin verin, onun orta BM'sini bulun.

Üçgen paralelken ABCD'ye tamamlayına ve c paralel çizgiler ekleme Böylece, kenarlar a ve c ve diyagonal b olan bir şekil oluşturuldu. Bunu oluşturmak için en uygun yol şu şekildedir: medyanın ait olduğu düz çizginin devamı için, aynı uzunluğa sahip MD doğrultusundan sonra, köşesini kalan iki kenar A ve C'nin köşelerine bağlayın.

Paralel köşegen köşegenlerin mülkiyetine görekesişme noktasını eşit parçalara bölün. paralelkenar köşegenlerinin karelerinin toplamı yanlarının iki kare toplamı eşittir, buna göre kosinüs teoremi bir sonucu uygulanır: BK² + AC² = 2 • AB² + 2 • BC².

(2 • m) ² + b² = 2 • c² + 2 • a²,: m = 1/2 • (2 • c² + 2 • ² √ sonra bu medyan m - BK = 2 • BM ve BM yana - b²).

Sen çekildin formül medyandan biri üçgen b kenarı için: mb = m. Benzer şekilde medyan diğer iki kenarı: ma = 1/2 • √ (2 • c² + 2 • b²-a²); mc = 1/2 • √ (2 • a² + 2 • b²-c²).

İpucu 2: Bir üçgenin ortanca değeri nasıl bulunur?

medyan üçgen Herhangi bir köşeyi birleştiren bir segment üçgen Karşı tarafın ortası ile. Üç medyan, her zaman içinde bir noktada kesişir üçgen. Bu nokta, herbiri böler medyan 2: 1 oranındadır.

talimat

Ortanca, Stewart teoremi kullanılarak bulunabilir. / 4, gdea, b, c - yan - ki göre ortalama iki taraf karelerinin kare toplamı eksi tarafına tutulan mediana.mc ^ 2 = (C ^ 2 2a ^ 2 + 2b ^ 2) kare bir dörtte üçgen.mc orta ile yan arasında;

Ortanca bulma sorunu, ek yapılar yoluyla çözülebilir üçgen Bir paralelkenarın diyagonalleri üzerindeki teorem vasıtasıyla paralelograma ve çözüme kadar. üçgen ve medyan, onları bir paralelograma tamamlarken. Böylece, medyan üçgen elde edilen paralelogramın diyagonalinin yarısına eşit olacak, iki taraf üçgen - tarafları (a, b) ve üçüncü taraf üçgen, ortanca gerçekleştirildiğiparalel kenarın Elde edilen ikinci diyagonal. (D1 = 0.5 * v: dolayısıyla elde edilen paralelkenar, çapraz - teoremine göre, bir paralel köşegenlerinin karelerinin toplamı olan storon.2 * (a ^ 2 + b ^ 2) = d1 ^ 2 + d2 ^ 2, gded1 d2 karelerinin toplamının iki eşittir 2 * (a ^ 2 + b ^ 2) - d2 ^ 2)

İpucu 3: Bir kenarın üçgeninin ortanca değeri nasıl bulunur?

Ortanca, köşeyi birleştiren kesimdir üçgen ve karşı tarafın ortası. Üç tarafın tüm uzunluklarını bilmek üçgen, medyalarını bulabilirsin. İdezeskler ve eşkenar özel durumlarda üçgen, tabii ki, sırasıyla, iki tane (birbirine eşit değil) ve bir taraf üçgen.

Ihtiyacınız olacak

cetvel

talimat

En genel durumu düşünelim üçgen ABC üçlü birbirine eşit değil taraflar. Bunun ortalama AE uzunluğu üçgen AE = sqrt (2 * (AB ^ 2) + 2 * (AC ^ 2) - (BC ^ 2)) / 2 formülünden hesaplanabilir. Geriye kalan medyan tamamen benzer. Bu formül, Stewart teoremi vasıtasıyla veya inşaat yoluyla türetilmiştir. üçgen paralelkenimden önce.

ABC üçgeni iki boyutlu ve AB = AC ise, ortanca AE bu yükseklikte olacak üçgen. Sonuç olarak üçgen BEA dikdörtgen olacaktır. Pisagor teoremi ile AE = sqrt ((AB ^ 2) - (BC ^ 2) / 4). Ortanca uzunluğu için genel formülden üçgen, BO ve CP ortalamaları için geçerlidir: BO = CP = sqrt (2 * (BC ^ 2) + (AB ^ 2)) / 2.

Üçgen ABC eşit ise, açıkçası tüm medyanları birbirine eşittir. Eşkenarşının tepesindeki açının bu yana üçgen 60 dereceye eşitse AE = BO = CP = a * sqrt (3) / 2, burada a = AB = AC = BC - eşit tarafın uzunluğu üçgen.

İpucu 4: Medyan uzunluğu nasıl bulunur?

Ortanca, üçgenin köşesini ve karşı tarafın ortasını birleştiren kesimdir. Üçgenin üç yanının uzunluğunu bilmek, onu bulabilirsin medyan. İdezeskler veBir eşkenar üçgen, açıkçası, sırasıyla, ikisi (birbirine eşit değil) ve üçgenin bir tarafını bilmek yeterlidir. Medyan diğer kaynaklardan da bulunabilir.

Ihtiyacınız olacak

Üçgenin kenarlarının uzunlukları, üçgenin kenarları arasındaki açılar

talimat

Üçlü ABC üçgeninin birbirine eşit olmayan en genel durumunu düşünün. uzunluk medyan Bu üçgenin AE'si aşağıdaki formül ile hesaplanabilir: AE = sqrt (2 * (AB ^ 2) + 2 * (AC ^ 2) - (BC ^ 2)) / 2. Gerisi medyan kesinlikle benzer. Bu formül, Stewart teoremi vasıtasıyla veya bir üçgenin bir paralelograma tamamlanması yoluyla elde edilir.

ABC üçgeninin iki köşeli ve AB = AC olduğu durumda,o zaman orta AE bu üçgenin yüksekliğidir. Sonuç olarak üçgen BEA dikdörtgen olacaktır. Pisagor teoremi ile AE = sqrt ((AB ^ 2) - (BC ^ 2) / 4). Uzunluğun genel formülünden medyan üçgen, medyan BO ve CP için geçerli: BO = CP = sqrt (2 * (BC ^ 2) + (AB ^ 2)) / 2.

ABC üçgeni eşit ise, hepsi aynı medyan birbirine eşittir. Eşkenar üçgenin köşesindeki açı 60 derece olduğu için, a = AB = AC = BC eşkenar üçgenin kenarının uzunluğudur. AE = BO = CP = a * sqrt (3) / 2.

Üçgendeki medyan diğerlerinden de bulunabilirverileri. Örneğin, iki tarafın uzunlukları verilirse, bunlardan biri orta, örneğin yanların AB ve BC uzunlukları ve aralarındaki açı x'dir. Sonra uzunluk medyan kosinüs teoremi açısından bulunabilir: AE = sqrt ((AB ^ 2 + (BC ^ 2) / 4) -AB * BC * cos (x)).

İpucu 5: Bir üçgende medyan uzunluğu nasıl bulunur?

Üçgenin ortanca değeri, tarafından çizilen kesimdir.köşelerinden herhangi birinden karşı tarafa doğru, eşit uzunlukta parçalara bölerek. Üçgendeki medyan sayısı, köşe sayıları ve kenar sayısı bakımından üçtür.

talimat

Sorun 1. İsteğe bağlı bir üçgen ABD'de medyan BE yapılır. Kenarların sırasıyla AB = 10 cm, BD = 5 cm ve AD = 8 cm olduğu biliniyorsa, uzunluğunu bulun.

Çözüm.Ortanca formülü üçgenin tüm kenarlarına uygulayın. Bu, kenarların tüm uzunlukları bilinmesinden dolayı basit bir sorundur: BE = √ ((2 * AB ^ 2 + 2 * BD ^ 2 - AD ^ 2) / 4) = √ ((200 + 50-64) / 4) = √ 46.5) ≈ 6.8 (cm).

Görev 2.İbisosel üçgeni ABD'de, AD ve BD tarafları eşittir. Medyan, köşe D'den yan BA'ya doğru çekilir ve BA ile 90 ° 'ye eşit bir açıda bulunur. BA'nın 10 cm olduğu ve DBA açısının 60 ° olduğu biliniyorsa DH'nin medyan uzunluğunu bulun.

Çözüm.Orta değeri bulmak için, AD veya BD üçgeninin bir ve aynı taraflarını belirleyin. Bunu yapmak için dikdörtgen üçgenden birini düşünün, BDH deyin. Ortanın tanımından BH = BA / 2 = 10/2 = 5 olur. BD'nin yanını, sağ üçgenin özelliklerinden trigonometrik formülle bulun: BD = BH / sin (DBH) = 5 / sin60 ° = 5 / (√3 / 2 ) ≈ 5.8.

Artık medyanı bulmak için iki seçenek var: birinci problemde kullanılan formül veya dik açılı bir üçgen BDH için Pisagor teoremi tarafından hesaplanır: DH ^ 2 = BD ^ 2 - BH ^ 2.DH ^ 2 = (5,8) ^ 2 - 25 ≈ 8,6 (cm).

Sorun 3. İsteğe bağlı bir üçgen BDA'da üç medyan gerçekleştirilir. Boyları DK'nın 4 cm olduğu biliniyorsa ve uzunluğu BK = 3 ve KA = 6 olan parçalara bölen uzunluklarını bulunuz.

Çözüm.Tüm tarafların uzunlukları medyanları bulmak için gereklidir. BA boyu şu şartla bulunabilir: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9. Sağ üçgen BDK'yi göz önünde bulundurun. Pisagor teoremi ile hipotenüs BD'nin uzunluğunu bulun: BD ^ 2 = BK ^ 2 + DK ^ 2; BD = √ (9 + 16) = √25 = 5.

Benzer şekilde sağ üçgen KDA'nın hipotenüsünü bulun: AD ^ 2 = DK ^ 2 + KA ^ 2; AD = √ (16 + 36) = √52 ≈ 7.2.

İfade formülünden kenarlar arasında bulunmedyanlar: BE ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - AD ^ 2) / 4 = (50 + 162 - 51.8) / 4 ≈ 40, dolayısıyla BE ≈ 6.3 (cm). DH ^ 2 = (2 * BD ^ 2 + 2 * AD ^ 2 - BA ^ 2) / 4 = (50 + 103.7 - 81) / 4 ≈ 18.2, dolayısıyla DH ≈ 4.3 (cm). AF ^ 2 = (2 * AD ^ 2 + 2 * BA ^ 2 - BD ^ 2) / 4 = (103.7 + 162 - 25) / 4 ≈ 60, dolayısıyla AF ≈ 7.8 (cm).